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827 高等代數與概率論

一、考試目的

考核考生對《高等代數》和《概率論》課程的基本理論體系和知識結構的掌握情況及熟練程度，檢測考生抽象思維和邏輯推理能力，以及綜合運用知識點解決問題的能力。要求考生對概念、命題、定理等理解準確，計算能力強，并能夠熟練運用。

二、考試內容

(一)高等代數部分

1.多項式

一元多項式概念及基本運算，整除的概念，帶余除法，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。

2.行列式

行列式的性質，行列式的計算，克拉默法則，行列式的乘法規則，Laplace定理。

3.線性方程組

向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解的判別定理，線性方程組解的結構。

4.矩陣

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，初等變換。

5.二次型

二次型的矩陣表示，標準形，規范型，正定二次型，半正定二次型，負定二次型，半負定二次型。

6.線性空間

線性空間的定義與性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

7.線性變換

線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若當(Jordan)標準形。

8.歐幾里得空間

定義與性質，內積，標準正交基，正交變換，對稱變換，子空間及正交補，實對稱矩陣的標準形，向量到子空間的矩陣，最小二乘法。

(二)概率論部分

1.概率論的基本概念

隨機試驗、隨機事件及其運算，概率的定義及概率的性質，概率空間的概念，條件概率和三個重要公式，事件的獨立性，貝努利試驗和二項概率公式。

2.一維隨機變量及其分布

隨機變量的概念和分布函數，離散型隨機變量及其分布，連續型隨機變量及其分布，六個常用的分布，隨機變量函數的分布。

3.多維隨機變量及其分布

多維(離散型和連續型)隨機變量及其分布，邊緣分布、條件分布和隨機變量的獨立性，多維隨機變量(包括二維到二維)函數的分布。

4.隨機變量的數字特征

一維隨機變量的數學期望、方差和矩，數學期望、方差的性質，常用分布的數學期望和方差，二維隨機變量的協方差(矩陣)和相關系數及其性質，切比雪夫不等式和柯西-施瓦茲不等式。

5.隨機變量的特征函數

(一維和多維)隨機變量的特征函數及其性質，n維正態(高斯)隨機變量的性質。

6.大數定律和中心極限定理

馬爾科夫大數定律、切比雪夫大數定律、貝努利大數定律和辛欽大數定律，獨立同分布的中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

三、試卷結構

高等代數、概率論各50%，主要題型為計算和證明題。